Vĩ độ của người quan sát - Mui Ne Vietnam

Bình phương 2 vế và lấy một trừ đi:

1 - cos 2 A = sin

b. sin 2

c - [cos a - cos b. cos c]2

sin 2 b. sin 2 c

2 2 2 2 2

sin2 A = (1- cos b)(1- cos c) - [cos a - 2cosacosb cosc + cos b cos c]

sin2 b.sin2 c

1- cos2 b - cos2 c + cos2 bcos2 c - cos2 a + 2cosacosbcosc - cos2 bcos2 c

= =

sin2 bsin2 c

1 - cos 2 a - cos 2 b - cos 2 c + 2 cos a cos b cos c

sin 2 b sin 2 c

Chia 2 vế cho sin2a

sin 2 A

sin 2 a

1 - cos 2 a - cos 2 b - cos 2 c + 2 cos a cos b cos c

=

sin 2 a sin 2 b sin 2 c

Biến đổi tương tự với các góc còn lại ta có :

sin 2 B

sin 2 b

sin 2 C

sin 2 c

1 - cos 2 a - cos 2 b - cos 2 c + 2 cos a cos b cos c

=

sin 2 a sin 2 b sin 2 c

1 - cos 2 a - cos 2 b - cos 2 c + 2 cos a cos b cos c

=

sin 2 a sin 2 b sin 2 c

Các vế trái đều như nhau, suy ra :

Hay

sin 2 A

sin 2 a

sin 2 B

= =

sin 2 b

sin 2 C

sin 2 c

sin a

= sin b = sin c = const

(3)

sin A sin B sin C

Đây là công thức loại I của lượng giác cầu. Phát biểu Mui Ne Vietnam:

Tỷ số giữa sin một cạnh của tam giác cầu và sin góc đối diện nó là hằng số.

Nó còn được viết :

(4)

sin các cạnh tỷ lệ với sin các góc đối diện.

* Giả sử tam giác cầu là tam giác vuông (A=90o) thì :

sin A = 1

cos A = 0

Do đó từ (2) ta có:

Chia 2 vế cho sinb

sinacosB = cosbsinc

sin a. cos B = cos b. sin c

Từ (4) ta có:

sin b

sin a = sin A =

sin b

1

Thay vào trên :

sin b

sin B

sin B

cos B cos b

= sin c

sin B

sin b

Hay

cotgB = cotgbsinc

tgb = sin c tgB

(5)

Tỷ số giữa tg một cạnh của tam giác vuông trên tg góc đối diện của nó bằng sin của cạnh còn lại.

2. Ứng dụng.

a) Đổi hệ tọa độ:

* Đổi từ hệ tọa độ xích đạo 1 sang hệ tọa độ chân trời.

Hình 41

Giả sử ta có thiên thể M, thiên đỉnh Z và thiên cực P trên thiên cầu. 3 điểm này làm thành tam giác cầu PZM. Đối chiếu với các công thức tam giác cầu ta ký hiệu như sau:

c = PZ = 90o - ZQ ' = 90o - j

b = PM = 90o - MM ' = 90o - d

a = ZM = Z A = MPZ = t

B = PZM = 180o - A

Trong đó Z, A : là tọa độ M trong hệ tọa độ chân trời. δ, t : là tọa độ M trong hệ tọa độ xích đạo. φ: vĩ độ của người quan sát.

Z : khoảng cách đỉnh. A : độ phương

Từ công thức (1) ta có :

cosa = cosb.cosc + sinbsinccosA

Ta thay vô :

cosZ = cos(90o-d) cos(90o-j) + sin(90o-d)sin(90o-j)cost

Hay

cos Z = sin d sin j + cos d cos j cos t

(6)

* Từ công thức (4) ta có :

sinasinB = sinbsinA

Thay vô : sinZsin(180o-A) = sin(90o-δ)sint sinZsinA = cosd sint (1*)

Theo công thức (2) ta có:

sinacosB = cosbsinc - sinbcosccosA

Thay:

Hay

sinZcos(180o-A) = cos(90o-d)sin(90o-j)

- sin(90o-d)cos(90o-j)cost

- sinZcosA = sind cosj - cosd sinj cost

sinZcosA = - sind cosj + cosd sinj cost (2*)

Chia (1*) : (2*) ta được :

tgA =

cos d sin t

- sin d cos j + cos d sin j cos t

(7)